曲率的概念及计算公式

作者：bearingpower        发表时间：2010-12-12

平均曲率，这个定义描述了http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image352AB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image353AB上切线变化的角度，为http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image354AB弧长。A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定义http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image359，为了方便使用，一般令曲率为正数，即：http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image360。http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image361 1、时，http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image371http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image372 2、时，http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image373http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image374 3再推导，因为http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image362，所以http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image378，两边对http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image379下面将与http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image362，即为曲率的计算公式。http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image3823.5.3 曲率半径：一般称为曲线在某一点的曲率半径。http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image383几何意义（应用举例：求上任一点的曲率及曲率半径（http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image384解：由于：http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image385所以：，http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image386http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image387宁波金百联轴承有限公司 NINGBO nsk BEARING COMPANY总机电话/TEL：022-58059063 87222422 58059053 58059268 13102005112 87220519 销售电话/SALES TEL：022-58059063 87222422（直拨）58059268 58059053 13102005112 87220519（转分机）采购部电话/TEL：022-87221977传真/FAX：022-23707785地址/ADD：天津市南开区华苑国际创业中心海泰信息广场B座212室E-mail：web@nskpc.com 网址/WEBSITE：www.nskpc.com www.nkspc.com金百联特种非标轴承网: www.skf365.com 商标 BRANDS:, 金百联 F&F、时，http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image375（令http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image376）http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image377x求导，得，推出http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image380。http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image381ds代入公式中：http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image361T5-29）如图为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。T5-30） 例：对于圆，。所以：圆周的曲率为http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image355，是常数。http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image356而直线上，所以http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image357，即直线“不弯曲”。http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image358对于一个点，如3.5.2 计算公式的推导：由于，所以要推导http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image361与http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image362ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分（T5-28，P218）因为，所以http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image363。http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image364令，同时用http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image365代替http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image366得http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image367http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image368所以或http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image369http://web.tongji.edu.cn/~math/bluebird/zsd/n3/z5/Image370具体表示；